BAB 9:ANALISIS REGRESI DAN ANALISIS KORELASI
Pengertian : Analisis regresi merupakan salah satu analisis yang bertujuan
untuk mengetahui pengaruh suatu variabel terhadap variabel lain. Dalam analisis
regresi, variabel yang mempengaruhi disebut Independent Variable (variabel
bebas) dan variabel yang dipengaruhi disebut Dependent Variable (variabel
terikat). Jika dalam persamaan regresi hanya terdapat satu variabel bebas dan
satu variabel terikat, maka disebut sebagai persamaan regresi sederhana,
sedangkan jika variabel bebasnya lebih dari satu, maka disebut sebagai
persamaan regresi berganda.
Analisis Korelasi merupakan suatu analisis untuk mengetahui tingkat keeratan hubungan antara dua variabel. Tingkat hubungan tersebut dapat dibagi menjadi tiga kriteria, yaitu mempunyai hubungan positif, mempunyai hubungan negatif dan tidak mempunyai hubungan.
Analisis Regresi Sederhana : digunakan untuk mengetahui pengaruh dari variabel bebas terhadap variabel terikat atau dengan kata lain untuk mengetahui seberapa jauh perubahan variabel bebas dalam mempengaruhi variabel terikat. Dalam analisis regresi sederhana, pengaruh satu variabel bebas terhadap variabel terikat dapat dibuat persamaan sebagai berikut : Y = a + b X. Keterangan : Y : Variabel terikat (Dependent Variable); X : Variabel bebas (Independent Variable); a : Konstanta; dan b : Koefisien Regresi. Untuk mencari persamaan garis regresi dapat digunakan berbagai pendekatan (rumus), sehingga nilai konstanta (a) dan nilai koefisien regresi (b) dapat dicari dengan metode sebagai berikut :
a = [(ΣY . ΣX2) – (ΣX . ΣXY)] / [(N . ΣX2) – (ΣX)2] atau a = (ΣY/N) – b (ΣX/N)
b = [N(ΣXY) – (ΣX . ΣY)] / [(N . ΣX2) – (ΣX)2]
Contoh :
Berdasarkan hasil pengambilan sampel secara acak tentang pengaruh lamanya belajar (X) terhadap nilai ujian (Y) adalah sebagai berikut :
|
(nilai ujian)
|
X (lama belajar)
|
X 2
|
XY
|
|
40
|
4
|
16
|
160
|
|
60
|
6
|
36
|
360
|
|
50
|
7
|
49
|
350
|
|
70
|
10
|
100
|
700
|
|
90
|
13
|
169
|
1.170
|
|
ΣY = 310
|
ΣX = 40
|
ΣX2 = 370
|
ΣXY = 2.740
|
Dengan menggunakan rumus di atas,
nilai a dan b akan diperoleh sebagai berikut :
a = [(ΣY . ΣX2) – (ΣX . ΣXY)] / [(N . ΣX2) – (ΣX)2]
a = [(310 . 370) – (40 . 2.740)] / [(5 . 370) – 402] = 20,4
b = [N(ΣXY) – (ΣX . ΣY)] / [(N . ΣX2) – (ΣX)2]
b = [(5 . 2.740) – (40 . 310] / [(5 . 370) – 402] = 5,4
Sehingga persamaan regresi sederhana adalah Y = 20,4 + 5,2 X
Berdasarkan hasil penghitungan dan persamaan regresi sederhana tersebut di atas, maka dapat diketahui bahwa : 1) Lamanya belajar mempunyai pengaruh positif (koefisien regresi (b) = 5,2) terhadap nilai ujian, artinya jika semakin lama dalam belajar maka akan semakin baik atau tinggi nilai ujiannya; 2) Nilai konstanta adalah sebesar 20,4, artinya jika tidak belajar atau lama belajar sama dengan nol, maka nilai ujian adalah sebesar 20,4 dengan asumsi variabel-variabel lain yang dapat mempengaruhi dianggap tetap.
Analisis Korelasi (r) : digunakan untuk mengukur tinggi redahnya derajat hubungan antar variabel yang diteliti. Tinggi rendahnya derajat keeratan tersebut dapat dilihat dari koefisien korelasinya. Koefisien korelasi yang mendekati angka + 1 berarti terjadi hubungan positif yang erat, bila mendekati angka – 1 berarti terjadi hubungan negatif yang erat. Sedangkan koefisien korelasi mendekati angka 0 (nol) berarti hubungan kedua variabel adalah lemah atau tidak erat. Dengan demikian nilai koefisien korelasi adalah – 1 ≤ r ≤ + 1. Untuk koefisien korelasi sama dengan – 1 atau + 1 berarti hubungan kedua variabel adalah sangat erat atau sangat sempurna dan hal ini sangat jarang terjadi dalam data riil. Untuk mencari nilai koefisen korelasi (r) dapat digunakan rumus sebagai berikut : r = [(N . ΣXY) – (ΣX . ΣY)] / √{[(N . ΣX2) – (ΣX)2] . [(N . ΣY2) – (ΣY)2]}
Contoh :
Sampel yang diambil secara acak dari 5 mahasiswa, didapat data nilai Statistik dan Matematika sebagai berikut :
a = [(ΣY . ΣX2) – (ΣX . ΣXY)] / [(N . ΣX2) – (ΣX)2]
a = [(310 . 370) – (40 . 2.740)] / [(5 . 370) – 402] = 20,4
b = [N(ΣXY) – (ΣX . ΣY)] / [(N . ΣX2) – (ΣX)2]
b = [(5 . 2.740) – (40 . 310] / [(5 . 370) – 402] = 5,4
Sehingga persamaan regresi sederhana adalah Y = 20,4 + 5,2 X
Berdasarkan hasil penghitungan dan persamaan regresi sederhana tersebut di atas, maka dapat diketahui bahwa : 1) Lamanya belajar mempunyai pengaruh positif (koefisien regresi (b) = 5,2) terhadap nilai ujian, artinya jika semakin lama dalam belajar maka akan semakin baik atau tinggi nilai ujiannya; 2) Nilai konstanta adalah sebesar 20,4, artinya jika tidak belajar atau lama belajar sama dengan nol, maka nilai ujian adalah sebesar 20,4 dengan asumsi variabel-variabel lain yang dapat mempengaruhi dianggap tetap.
Analisis Korelasi (r) : digunakan untuk mengukur tinggi redahnya derajat hubungan antar variabel yang diteliti. Tinggi rendahnya derajat keeratan tersebut dapat dilihat dari koefisien korelasinya. Koefisien korelasi yang mendekati angka + 1 berarti terjadi hubungan positif yang erat, bila mendekati angka – 1 berarti terjadi hubungan negatif yang erat. Sedangkan koefisien korelasi mendekati angka 0 (nol) berarti hubungan kedua variabel adalah lemah atau tidak erat. Dengan demikian nilai koefisien korelasi adalah – 1 ≤ r ≤ + 1. Untuk koefisien korelasi sama dengan – 1 atau + 1 berarti hubungan kedua variabel adalah sangat erat atau sangat sempurna dan hal ini sangat jarang terjadi dalam data riil. Untuk mencari nilai koefisen korelasi (r) dapat digunakan rumus sebagai berikut : r = [(N . ΣXY) – (ΣX . ΣY)] / √{[(N . ΣX2) – (ΣX)2] . [(N . ΣY2) – (ΣY)2]}
Contoh :
Sampel yang diambil secara acak dari 5 mahasiswa, didapat data nilai Statistik dan Matematika sebagai berikut :
|
Sampel
|
X (statistik)
|
Y (matematika)
|
XY
|
X2
|
Y2
|
|
1
|
2
|
3
|
6
|
4
|
9
|
|
2
|
5
|
4
|
20
|
25
|
16
|
|
3
|
3
|
4
|
12
|
9
|
16
|
|
4
|
7
|
8
|
56
|
49
|
64
|
|
5
|
8
|
9
|
72
|
64
|
81
|
|
Jumlah
|
25
|
28
|
166
|
151
|
186
|
r = [(N . ΣXY) – (ΣX . ΣY)] / √{[(N . ΣX2) – (ΣX)2] . [(N . ΣY2) – (ΣY)2]}
r = [(5 . 166) – (25 . 28) / √{[(5 . 151) – (25)2] . [(5 . 186) – (28)2]} = 0,94
Nilai koefisien korelasi sebesar 0,94 atau 94 % menggambarkan bahwa antara nilai statistik dan matematika mempunyai hubungan positif dan hubungannya erat, yaitu jika mahasiswa mempunyai nilai statistiknya baik maka nilai matematikanya juga akan baik dan sebaliknya jika nilai statistik jelek maka nilai matematikanya juga jelek.
r = [(5 . 166) – (25 . 28) / √{[(5 . 151) – (25)2] . [(5 . 186) – (28)2]} = 0,94
Nilai koefisien korelasi sebesar 0,94 atau 94 % menggambarkan bahwa antara nilai statistik dan matematika mempunyai hubungan positif dan hubungannya erat, yaitu jika mahasiswa mempunyai nilai statistiknya baik maka nilai matematikanya juga akan baik dan sebaliknya jika nilai statistik jelek maka nilai matematikanya juga jelek.
ANALISIS
VARIANSI (ANAVA)
Analysis of Variances (ANOVA)
A. PENGERTIAN
Apa yang dimaksud dengan Analisis Variansi?
Pada kesempatan yang lalu telah dipelajari uji hipotesa untuk membandingkan dua populasi berdasarkan uji beda rataan dan atau berdasarkan uji hubungan.
Sebelum kita memahami lebih jauh tentang Analisis Variansi, perhatikanlah contoh berikut
Contoh 1
Seorang peneliti pendidikan untuk program studi matematika ingin meneliti efektivitas dari 3 metode pembelajaran jika ditinjau dari prestasi belajar siswa. Ia telah memilih 3 metode pembelajaran, yaitu Metode Teacher Oriented, Active Learning dan Contextual Learning.
Ketiga metode tersebut diterapkan untuk 3 sampel, artinya sample pertama diterapkan Metode Pembelajaran Teacher Oriented, sample kedua diterapkan Metode Pembelajaran Active Learning, dan pada sample ketiga diterapkan Metode Pembelajaran Contextual Learning. Ketiga sample tersebut telah diyakinkan bahwa kemampuan awal yang dimiliki oleh masing-masing sample adalah relatif sama. Peneliti tersebut bertujuan untuk menguji ada atau tidaknya perbedaan efek/pengaruh beberapa perlakuan pada ketiga sample ditinjau dari prestasi belajar siswa. Untuk melihatnya, peneliti tersebut menggunakan rata-rata nilai dari masing-masing sample. Setelah beberapa waktu eksperimen, peneliti tersebut melakukan pengujian sebagai tolak ukur untuk mengetahui prestasi belajar siswa. Setelah data diperoleh, uji statistik apakah yang dapat direkomendasikan untuk dapat digunakan peneliti tersebut dalam usaha mengambil kesimpulan?
Dari contoh diatas dapat dilihat bahwa terdapat tiga sample yang diambil dari populasi, satu variable bebas, yaitu model pembelajaran, dan satu variable terikat, yaitu prestasi belajar siswa. Variabel bebas ini dibagi menjadi 3 bagian yaitu model pembelajaran Teacher Oriented, Active Learning dan Contextual Learning.
Statistik uji beda rataan untuk k-populasi yaitu Analisis Variansi
Jadi dapat disimpulkan bahwa
Analisis Variansi (ANAVA) atau Analysis of Variances (ANOVA) adalah prosedur pengujian kesamaan beberapa rata-rata populasi.
Dalam Analisis Variansi, dapat dilihat variasi-variasi yang muncul karena adanya beberapa perlakuan (treatment) untuk menyimpulkan ada atau tidaknya perbedaan rataan pada k-populasi.
Ahli statistik yang mempunyai kontribusi besar dalam mengembangkan uji Analisis Variansi ini adalah Sir Ronald A. Fisher (1890 – 1962)
B. KLASIFIKASI
Pada Contoh 1 diatas dapat Anda identifikasi bahwa satu variable bebas, yaitu model pembelajaran, dan satu variable terikat, yaitu prestasi belajar siswa.
Berdasarkan banyak variable terikat-nya, Analisis Variansi diklasifikasikan menjadi dua kelompok, yaitu
1. Analisis Variansi Univariate
Analisis ini digunakan jika suatu eksperimen mempunyai satu variable terikat
2. Analisis Variansi Mutivatiate
Analisis ini digunakan jika suatu eksperimen mempunyai lebih dari satu variable terikat
Berdasarkan banyaknya variable bebas-nya, Analisis Variansi Univariate dibagi menjadi tiga kelompok yaitu
1. Analisis Variansi Univariate Satu Jalan
Analisis ini digunakan jika suatu eksperimen mempunyai satu variable terikat dan satu variabel bebas
2. Analisis Variansi Univariate Dua Jalan
Analisis ini digunakan jika suatu eksperimen mempunyai satu variable terikat dan dua variabel bebas
3. Analisis Variansi Univariate Tiga Jalan
Analisis ini digunakan jika suatu eksperimen mempunyai satu variable terikat dan tiga variabel bebas.
Berdasarkan banyaknya variable bebas-nya, Analisis Variansi Multivariate juga dibagi menjadi 3 bagian yaitu
1. Analisis Variansi Multivariate Satu Jalan
Analisis ini digunakan jika suatu eksperimen mempunyai lebih dari satu variable terikat dan satu variabel bebas
2. Analisis Variansi Multivariate Dua Jalan
Analisis ini digunakan jika suatu eksperimen mempunyai lebih dari satu variable terikat dan dua variabel bebas
3. Analisis Variansi Multivariate Tiga Jalan
Analisis ini digunakan jika suatu eksperimen mempunyai lebih dari satu variable terikat dan tiga variabel bebas
Pada bab ini, kita akan mempelajari terutama untuk Analisis Variansi Univariate
C. PERSYARATAN ANALISIS VARIANSI
Tidak semua jenis penelitian dapat dianalisia dengan Analisis Variansi, tetapi penelitian yang hanya memenuhi persyaratan Analisis Variansi.
Adapun persyaratan untuk Analisis Variansi adalah
1. Setiap sample diambil secara random dari populasinya
Dalam statistika, untuk hal pengambilan sample harus dilakukan secara random (acak) dari populasinya. Hal ini dimaksudkan agar diperoleh sample yang dapat mewakili populasinya (representative)
Tambahkan dengan teknik sampling di buku metodologi penelitian
2. Masing-masing populasi saling independen dan masing-masing data amatan saling independen di dalam kelompoknya
§ Dipenuhinya persyaratan ini dimaksudkan agar perlakuan yang diberikan kepada masing-masing sample independen antara satu dengan yang lainnya. Dengan kata lain antara sample satu dengan sample yang lain berdiri sendiri dan tidak ada keterkaitan/hubungan.
Misalkan dilakukan§ eksperimen tindakan kelas yang ditinjau dari prestasi belajar siswa. Saat dilakukan pengujian, peneliti harus menjamin bahwa antara sample yang satu dengan yang lainnya independen/tidak ada hubungan/tidak ada kerjasama sehingga data yang diperoleh merupakan data yang valid, artinya alat tes yang sudah diberikan kepada salah satu sample diusahakan jangan sampai diberikan kepada sample yang lain.
Untuk§ masing-masing populasi harus saling independen dan masing-masing data amatan harus saling independen di dalam kelompoknya, dalam arti bahwa kesalahan yang terjadi pada suatu data amatan harus independen dengan kesalahan yang terjadi pada data amatan yang lain.
Andaikan solusi§ independen antar tes dapat diselesaikan dengan memilih sample – sample yang mewakili populasi-populasi yang berbeda, maka peneliti juga harus menjamin sifat independen antar data amatan
Untuk menguji independence, dapat digunakan uji kecocokan (goodness – of – fit test).§
Teorema Goodness – of – fit test§
Uji kecocokan antara frekuensi amatan (observed frequencies) dan frekuensi harapan (expected frequencies) mendasarkan kepada kuantitas berikut :
Dimana nilai-nilai dari mendekati nilai-nilai dari variable random chi kuadrat
Lambang oi menyatakan frekuensi amatan dan lambang ei menyatakan frekuensi data yang diharapkan
Teorema Derajat Kebebasan untuk Uji Kecocokan§
Bilangan yang menunjukkan derajat kebebasan pada uji kecocokan chi kuadrat adalah banyaknya sel dikurangi banyaknya kuantitas yang diperoleh dari data amatan yang digunakan untuk menghitung frekuensi harapan.
Pada uji ini, yang dirumuskan ialah bahwa data amatan mempunyai distribusi tertentu yang dihipotesiskan dan sebagai daerah kritiknya adalah
Dengan v = derajat kebebasan
§ Berdasarkan Teorema Goodness-of-Fit Test diatas dapat dilihat bahwa semakin kecil nilai-nilai menunjukkan data yang diamati semakin mendekati distribusi yang diteorikan.
3. Setiap populasi berdistribusi normal (Sifat Normalitas Populasi)
• Persyaratan normalitas populasi harus dipenuhi karena Analisis Variansi pada dasarnya adalah uji beda rataan, sama seperti uji beda rataan 2 populasi, misal uji t dan uji Z
• Sebelum dilakukan uji beda rata-rata, harus ditunjukkan bahwa sampelnya diambil dari populasi normal.
• Apabila masing-masing sample berukuran besar dan diambil dari populasi yang berukuran besar, biasanya masalah normalitas ini tidak menjadi masalah yang pelik, karena populasi yang berukuran besar cenderung berdistribusi normal.
• Terdapat 2 cara yang sering digunakan untuk uji normalitas, yaitu dengan variable random chi kuadrat (dikatakan sebagai uji secara parametrik karena menggunakan penafsir rataan dan deviasi baku) dan dengan metode Lilliefors (uji ini merupakan uji secara non-parametrik).
• Uji Normalitas dengan Chi Kuadrat
Uji kenormalan dapat dilakukan dengan menggunakan Teorema Goodness – of – fit test dan Teorema Derajat Kebebasan untuk Uji Kecocokan diatas. Pada uji ini, untuk menentukan frekuensi harapan, dilakukan tiga cuantiítas, yaitu frekuensi total, rataan, dan deviasi baku sehingga derajat kebebasannya adalah (k-3).
Untuk dapat menggunakan cara ini, datanya harus dinyatakan dalam distribuís frekuensi data bergolong. Prinsip yang dipakai dalam uji ini adalah membandingkan antara histogram data amatan dengan histogram yang kurva poligon frekuensinya mendekati distribusi normal
• Uji Normalitas dengan Metode Lilliefors
Uji normalitas dengan metode ini digunakan apabila datanya tidak dalam distribusi frekuensi bergolong. Pada metode ini, setiap data diubah menjadi bilangan baku dengan transformasi
Statistik uji untuk metode ini adalah L = dengan dan = proporsi cacah terhadap seluruh .
Sebagai daerah kritiknya : dengan n sebagai ukuran populasi
• Jika persyaratan normalitas populasi ini tidak dipenuhi, peneliti harus dapat melakukan transformasi data sedemikian hingga data yang baru memenuhi persyaratan normalitas populasi ini dan Analisis Variansi ini dapat diberlakukan pada data yang baru hasil transformasi
4. Populasi-populasi mempunyai variansi yang sama (Sifat Homogenitas Variansi Populasi)
Ø Persyaratan ini harus dipenuhi karena didalam Analisis Variansi ini dihitung variansi gabungan (pooled varince) dari variansi-variansi kelompok
Hal ini berkaitan dengan digunakannya uji F pada AnalisisØ Variansi, yang apabila variansi populasi tidak sama maka uji F tidak dapat digunakan
Salah satu uji homogenitas variansi untuk k-populasi adalah Uji Bartlett. Uji ini mempunyai 2 bentuk.Ø
Uji Bartlett bentuk pertamaØ
Langkah komputasinya adalah
1. Hitunglah masing-masing variansi dari k-populasi yaitu dari sampel yang berukuran
2. Hitung variansi gabungan yang dirumuskan oleh
3. Hitung bilangan b yang dirumuskan dengan yang merupakan nilai dari variabel random B yang mempunyai distribusi Bartlett
4. Tentukan daerah kritiknya : dengan
Uji Bartlett bentuk keduaØ
Statistik Uji :
dengan
= banyaknya populasi = banyaknya sampel
= banyaknya seluruh nilai (ukuran)
= banyaknya nilai (ukuran) smapel ke-j = ukuran sampel ke-j
= = derajat kebebasan untuk
= = derajat kebebasan untuk RKG
RKG = rataan kuadrat galat =
= =
CATATAN
Dalam Analisis Variansi, masing-masing kelompok yang digunakan sebagai sample dari populasinya masing-masing sehingga jika terdapat k-sampel yang diambil dari k-populasi dan setiap sample mendapat perlakuan (treatment) sendiri-sendiri maka dapat dikatakan k-sampel identik dengan k-populasi
Atau dengan kata lain,
Populasi-populasi pada Analisis Variansi merupakan sub-sub populasi dari populasi penelitian
D. PENYIMPANGAN PESYARATAN ANALISIS VARIANSI
Sejumlah penelitian telah dilakukan untuk mengetahui efek penyimpangan dari asumsi dalam Analisis Variansi. Penelitian ini menunjukkan bahwa terdapat sedikit efek/akibat bila asumsi yang mendasari Analisis Variansi tidak secara pasti memuaskan sehingga sedikit penyimpanagan dari asumsi akan mendapat sedikit perhatian pula
E. ANALISIS VARIANSI UNIVARIATE SATU JALAN
Analisis ini digunakan jika data eksperimen mempunyai ciri-ciri sebagai berikut :
1. Memenuhi 4 persyaratan Analisis Variansi
2. Mempunyai satu variable terikat
3. Mempunyai satu variable bebas
Contoh 2
Seorang peneliti pendidikan ingin meneliti pengaruh waktu pengajaran ditinjau dari prestasi belajar siswa. Peneliti tersebut memilih masing-masing satu kelas untuk tiga sekolah yang telah ditentukan sebelumnya dan telah diyakinkan bahwa ketiga sekolah dan ketiga kelas tersebut mempunyai kemampuan/prestasi yang relatif sama. Dari ketiga kelas tersebut, satu kelas diajarkan matematika tiap pagi hari, satu kelas lagi diajarkan matematika tiap siang hari, dan satu kelas terakhir diajarkan matematika tiap sore hari selama waktu eksperimen.
Dari Contoh 2 dapat diidentifikasi variable bebas dan variable terikatnya yaitu
Variabel terikat :
Variabel bebas :
Jika diasumsikan bahwa keempat persyaratan dari Analisis Variansi diatas telah terpenuhi dan telah diidentifikasi variable-variabelnya, maka pada Contoh 2 diatas dapat digunakan uji
Analisis Variansi …
Contoh 3
Seperti Contoh 2 diatas, misalkan disamping diuji pengaruh waktu mengajar terhadap prestasi belajar siswa, secara serentak juga akan dilihat pengaruh ukuran kelas (besar dan kecil) terhadap prestasi belajar siswa, maka akan terdapat variable tambahan sehingga dapat diidentifikasikan variable terikat dan variable bebasnya yaitu
Variabel terikat :
Variabel bebas :
Jika diasumsikan bahwa keempat persyaratan dari Analisis Variansi diatas telah terpenuhi dan telah diidentifikasi variable-variabelnya, maka pada Contoh 3 dapat digunakan uji
Analisis Variansi …
Berdasarkan ukuran data amatan, Analisis Variansi Univariate Satu Jalan dapat digolongkan menjadi 2 yaitu
1. Analisis Variansi Univariate Satu Jalan dengan Sel Sama
2. Analisis Variansi Univariate Satu Jalan dengan Sel Berbeda
ANALISIS VARIANSI UNIVARIATE SATU JALAN DENGAN SEL SAMAv
- Syarat
Uji ini digunakan jika data amatan hasil eksperimen memenuhi persyaratan sebagai berikut
i. Memenuhi 4 persyaratan Analisis Variansi
ii. Mempunyai satu variabel terikat
iii. Mempunyai satu variable bebas
iv. Ukuran masing-masing sample adalah sama
- Misalkan ukuran sample yang sama adalah n
- Tata letak data
Misalkan terdapat k-sampel dengan masing-masing sample berukuran n maka banyaknya seluruh data amatan adalah nk
Notasi dan tata letak data pada k-sampel berukuran n dapat digambarkan pada tabel berikut
Perlakuan
1 2 … k
…
…
…
…
Jumlah
…
T = G
Rataan
…
- Keterangan
= data amatan ke-i pada perlakuan ke-j (sample ke-j)
= Jumlah data amatan sample ke-j
= Rataan sample ke-j
G = T = Jumlah seluruh data amatan
= rataan dari seluruh data amatan
- Model Data
Pada Analisis Variansi Univariate Satu Jalan dengan Sel Sama, setiap data/nilai pada populasi dapat dimodelkan dalam bentuk
Misalkan rataan dari seluruh data pada k-populasi adalah , maka dapat dinyatakan sebagai
dengan
dimana
= rataan pada populasi ke-j
= deviasi dari rataan populasinya
= efek perlakuan ke-j terhadap variable terikat
- Dengan demikian, model dari nilai pada populasi adalah
dengan
= data amatan ke-i pada perlakuan ke-j
= rerata dari seluruh data pada populasi
= efek perlakuan ke-j terhadap variable terikat
= deviasi dari rataan populasinya yang berdistribusi normal dengan rataan nol
Deviasi terhadap rataan populasi sering disebut dengan galat (error)
= 1, 2, … , n
j = 1, 2, … ,k
k = cacah populasi/cacah perlakuan/cacah klasifikasi
n = banyaknya data amatan
- Perhatikan dan selesaikanlah contoh-contoh berikut
Contoh 4
Tabel berikut adalah data populasi pada eksperimen dengan 3 perlakuan, yaitu perlakuan P1, P2, dan P3
Misalkan variable terikatnya adalah prestasi belajar yang berupa nilai
Perlakuan P1 P2 P3
Nilai 3, 4, 4, 5 5, 5, 3, 3 2, 4, 4, 6
Carilah nilai dan !
Nyatakan setiap nilai dengan model !
Solusi :
Langkah pertama, carilah dahulu nilai dan . Setelah diperoleh kedua nilai tersebut dapat dicari nilai
Setiap data pada populasi tersebut dapat dinyatakan dengan bentuk sebagai berikut
Dari contoh diatas dapat dilihat bahwa
dan
Keadaan seperti ini dapat dikatakan bahwa …
Contoh 5
Tabel berikut adalah data populasi pada eksperimen dengan 3 perlakuan, yaitu perlakuan K1, K2, dan K3
Misalkan variable terikatnya adalah prestasi belajar yang berupa nilai
Perlakuan K1 K2 K3
Nilai 2, 3, 3, 4 5, 5, 3, 3 3, 5, 5, 7
Carilah nilai dan !
Nyatakan setiap nilai dengan model !
Solusi :
Contoh 6
Tabel berikut adalah data populasi pada eksperimen dengan 3 perlakuan, yaitu perlakuan T1, T2, dan T3
Misalkan variable terikatnya adalah prestasi belajar yang berupa nilai
Perlakuan T1 T2 T3
Nilai 3, 4, 4, 6 3, 4, 4, 5 5, 6, 7, 8
Carilah nilai dan !
Nyatakan setiap nilai dengan model !
Solusi :
Dari Contoh 4 sampai Contoh 6 dapat disimpulkan bahwa
1. Jika dan maka dapat dikatakan ….
2. Jika ketiga tidak bernilai sama dan nilai ketiga juga berbeda maka dapat diartikan ….
- Perumusan Hipotesa
Misalkan terdapat k-perlakuan. Pasangan hipotesa yang diuji pada analisis variansi satu jalan ini adalah
H0 :
H1 : paling sedikit ada dua rataan yang tidak sama
Perhatikan bahwa sebab notasi itu menunjukkan bahwa dan dan dan seterusnya padahal tidak selalu demikian
Berdasarkan model data pada Analisis Variansi Univariate Satu Jalan, maka pasangan hipotesisnya dapat dirumuskan sebagai berikut
H0 :
(dapat juga ditulis untuk setiap j)
H1 : paling sedikit ada satu yang tidak nol
Atau dapat ditulis dengan
H0 : tidak ada pengaruh variable bebas terhadap variable terikat
H1 : ada pengaruh variable bebas terhadap variable terikat
Atau dapat ditulis dengan
H0 : variabel bebas tidak berpengaruh terhadap variable terikat
H1 : variabel bebas berpengaruh terhadap variable terikat
Jika kata “pengaruh” digunakan, maka harus dimengerti bahwa ada atau tidaknya pengaruh ditandai oleh ada atau tidaknya perbedaan rataan pada k-populasi
Hal ini dilambangkan dengan nilai
- Prosedur Uji Analisis Variansi
Analisis Variansi pada prinsipnya mendasarkan kepada perbandingan dua estimator independen untuk variansi seluruh populasi, yaitu
Estimator-estimator ini diperoleh dari pemisahan variansi data amatan pada seluruh sample menjadi 2 komponen yaitu
1. Estimator untuk variansi antar kelompok (variances between the sample means)
2. Estimator variansi dalam kelompok (variances within k-samples)
Tentu saja estimator-estimator ini diperoleh dari variansi-variansi sample
Variansi dari seluruh data amatan pada k-sampel dan dengan ukuran data nk adalah
=
Pembilang dari ruas kanan pada formula variansi diatas disebut dengan Jumlah Kuadrat Total (Total sum of Squares) yang disingkat dengan JKT atau SST sehingga diperoleh
JKT = SST =
Dan penyebutnya merupakan Derajat Kebebasan untuk JKT
Dengan menggunakan sifat sigma diperoleh
JKT = =
Untuk selanjutnya, suku pertama ruas kanan disebut Jumlah Kuadrat Rataan Perlakuan (Treatment Sum of Squares atau Sum of Squares for Column Means), disajikan dengan JKA atau SSC dan suku keduanya disebut Jumlah Kuadrat Galat (Error Sum of Squares) yang dinotasikan dengan JKG atau SSE
Sehingga diperoleh
JKA = SSC = dan JKG = SSE =
Estimator untuk variansi antar kelompok , dengan derajat kebebasan , ditentukan oleh
Jika benar maka merupakan estimator tak bias , sebaliknya jika benar, maka JKA akan mempunyai nilai yang cenderung besar dan jauh melebihi
Estimator untuk variansi dalam kelompok dengan derajat kebebasan , ditentukan oleh
Estimator ini merupakan estimator tak bias terlepas apakah yang benar ataukah jika benar, maka rasio dan adalah
adalah nilai dari variabel random Fisher yang mempunyai distribusi F dengan derajat kebebasan (k-1) dan (nk-k)
Untuk selanjutnya disebut rataan kuadrat perlakuan (treatment mean squares) yang dinotasikan dengan RKA atau MSC dan disebut rataan kuadrat galat (error means squares) yang dinotasikan dengan RKG atau MSE.
Oleh karena itu, statistik ujinya adalah
RKA ini merupakan estimator untuk variansi antar kelompok
RKG merupakan estimator variansi gabungan (pooled variance) dari variansi – variansi populasi.
- Daerah Kritik
Karena adalah over estimates jika salah, maka daerah kritik untuk uji ini adalah
- Formula Praktis
Pada praktiknya, nilai rataan sample tidak merupakan bilangan bulat sehingga formula JKA, JKG, dan JKT seperti yang ditulis dimuka tidak mudah digunakan.
Namun demikian, sifat-sifat berikut ini dipenuhi, sehingga untuk menghitung JKT, JKA, dan JKG lebih baik digunakan formula
JKG = JKT - JKA
- Contoh 7
Untuk melihat apakah obat sakit kepala jenis A, jenis B, jenis C, jenis D, dan jenis E memberikan efek yang sama untuk menghilangkan rasa sakit kepala, obat-obat tersebut diberikan kepada kelompok yang berbeda yang masing-masing kelompok beranggotakan 5 orang yang sedang sakit kepala yang sama. Kelompok I diberi obat A, Kelompok II diberi obat B, Kelompok III diberi obat C, Kelompok IV diberi obat D, dan Kelompok V diberi obat E. Data berikut menyatakan lama waktu penyembuhan yang dicatat untuk masing-masing kelompok. Jika = 5%, apakah dapat disimpulkan bahwa kelima jenis obat sakit kepala tersebut memberikan efek yang sama? Diasumsikan semua persyaratan uji analisis variansi dipenuhi
Lama Waktu Hilangnya Rasa Sakit pada Lima Jenis Obat
Jenis Obat Sakit Kepala
A B C D E
5 9 3 2 7
4 7 5 3 6
8 8 2 4 9
6 6 3 1 4
3 9 7 4 7
Solusi :
Langkah pertama akan dicari nilai total dan rataan dari masing-masing sel dan diperoleh
Jenis Obat Sakit Kepala
A B C D E
5 9 3 2 7
4 7 5 3 6
8 8 2 4 9
6 6 3 1 4
3 9 7 4 7
Total = 26
= 39
= 20
= 14
= 33
G = T = 132
Rataan = 5,2
= 7,8
= 4,0
= 2,8
= 6,6
= 5,28
Uji Hipotesa :
1. Perumusan Hipotesa
H0 :
H1 : paling sedikit ada dua rataan yang tidak sama
2. Taraf Signifikansi = 5%
3. Statistik Uji yang digunakan
4. Komputasi
JKT = = 834 – 696,960 = 137,040
JKA = = 79,440
JKG = 57,6
RKA = = 19,860
RKG = = 2,88
Rangkuman Analisis Variansi dari Contoh 7
Sumber Variasi Jumlah Kuadrat Derajat Kebebasan Rataan Kuadrat Nilai F amatan
Perlakuan 79,440 4 19,860 6,90
Galat 57,600 20 2,880
Total 137,040 24
5. Daerah Kritik
= 2,87
DK = {F|F>2,87}
DK
6. Keputusan Uji : H0 ditolak
7. Kesimpulan : Kelima obat sakit kepala tersebut tidak memberikan efek yang sama dalam menghilangkan rasa sakiANALISIS VARIANSI UNIVARIATE SATU JALAN DENGAN SEL YANG BERBEDAv
• Jika Analisis Variansi Univariate Satu Jalan dengan sel yang sama, ukuran masing-masing sample sama, yaitu n, maka pada analisis variansi dengan sel tak sama, ukuran masing-masing sel tidak harus sama. Jadi, pada sample ke-1, ukuran sampelnya ialah n1; pada sample ke-2, ukuran sampelnya alah n2,…., pada sample ke-k, ukuran sampelnya ialah nk
• Tujuan
Seperti pada avana satu jalan dengan sel sama, tujuan dipakainya anava satu jalan dengan sel tak sama adalah untuk melihat efek variable bebas terhadap variable terikat dengan membandingkan rataan beberapa populasi
• Syarat
Uji ini digunakan jika data amatan hasil eksperimen memenuhi persyaratan sebagai berikut
i. Memenuhi 4 persyaratan Analisis Variansi
ii. Mempunyai satu variabel terikat
iii. Mempunyai satu variable bebas
iv. Ukuran masing-masing sample adalah berbeda
• Tata letak data
Misalnya terdapat k populasi yang akan dibandingkan rataanya, yang dengan kata lain, misalnya terdapat k kategori perlakuan. Perlakuan-perlakuan itu disajikan dengan A1, A2, … , Ak. Notasi data dari ANAVA jenis ini dapat digambarkan dalam table berikut
Tabel Tata Letak Pada Anava Satu Jalan Sel Tak Sama
A1 A2 … Ak
Data Amatan X11
X21
…
Xn11 X12
X22
…
Xn22 …
…
…
… X1k
X2k
...
Xnkk
• Model
Model untuk data populasi pada analisis variansi satu jalan dengan sel tak sama ialah:
Xij = µ + αj + εij
dengan:
Xij = data ke-i pada perlakuan ke-j;
µ = rerata dari seluruh data (rerata besar, grand mean);
αj = µj - µ = efek perlakuan ke-j pada variable terikat;
εij = deviasi data Xij terhadap rataan populasinya yang berdistribusi normal dengan rataan 0.
i = 1, 2, 3, … , nj; ; j = 1, 2, 3, …, k
k = cacah populasi (cacah perlakuan, cacah klasifikasi)
• Notasi dan Tata Letak
Karena setiap perlakuan tersebut terdiri dari data amatan yang banyaknya berbeda maka harus dicari jumlah, rataan, jumlah kuadrat, suku korelasi, dan variasi untuk masing-masing kategori perlakuan maupun keseluruhan (total) sehingga data amatan dan perhitungan yang dicari diatas dapat disajikan pada tabel berikut
Tabel Notasi dan Tata Letak Pada Anava Satu Jalan Sel Tak Sama
A1 A2 … Ak Total
Data Amatan X11
X21
….
Xn11 X12
X22
….
Xn22 …
…
…
… X1k
X2k
....
Xnkk
Cacah data n1 n2 … nk N
Jumlah data T1 T2 … Tk G
Rataan
…
Jumlah Kuadrat
…
Suku Korelasi
…
Variasi SS1 SS2 …
Analysis of Variances (ANOVA)
A. PENGERTIAN
Apa yang dimaksud dengan Analisis Variansi?
Pada kesempatan yang lalu telah dipelajari uji hipotesa untuk membandingkan dua populasi berdasarkan uji beda rataan dan atau berdasarkan uji hubungan.
Sebelum kita memahami lebih jauh tentang Analisis Variansi, perhatikanlah contoh berikut
Contoh 1
Seorang peneliti pendidikan untuk program studi matematika ingin meneliti efektivitas dari 3 metode pembelajaran jika ditinjau dari prestasi belajar siswa. Ia telah memilih 3 metode pembelajaran, yaitu Metode Teacher Oriented, Active Learning dan Contextual Learning.
Ketiga metode tersebut diterapkan untuk 3 sampel, artinya sample pertama diterapkan Metode Pembelajaran Teacher Oriented, sample kedua diterapkan Metode Pembelajaran Active Learning, dan pada sample ketiga diterapkan Metode Pembelajaran Contextual Learning. Ketiga sample tersebut telah diyakinkan bahwa kemampuan awal yang dimiliki oleh masing-masing sample adalah relatif sama. Peneliti tersebut bertujuan untuk menguji ada atau tidaknya perbedaan efek/pengaruh beberapa perlakuan pada ketiga sample ditinjau dari prestasi belajar siswa. Untuk melihatnya, peneliti tersebut menggunakan rata-rata nilai dari masing-masing sample. Setelah beberapa waktu eksperimen, peneliti tersebut melakukan pengujian sebagai tolak ukur untuk mengetahui prestasi belajar siswa. Setelah data diperoleh, uji statistik apakah yang dapat direkomendasikan untuk dapat digunakan peneliti tersebut dalam usaha mengambil kesimpulan?
Dari contoh diatas dapat dilihat bahwa terdapat tiga sample yang diambil dari populasi, satu variable bebas, yaitu model pembelajaran, dan satu variable terikat, yaitu prestasi belajar siswa. Variabel bebas ini dibagi menjadi 3 bagian yaitu model pembelajaran Teacher Oriented, Active Learning dan Contextual Learning.
Statistik uji beda rataan untuk k-populasi yaitu Analisis Variansi
Jadi dapat disimpulkan bahwa
Analisis Variansi (ANAVA) atau Analysis of Variances (ANOVA) adalah prosedur pengujian kesamaan beberapa rata-rata populasi.
Dalam Analisis Variansi, dapat dilihat variasi-variasi yang muncul karena adanya beberapa perlakuan (treatment) untuk menyimpulkan ada atau tidaknya perbedaan rataan pada k-populasi.
Ahli statistik yang mempunyai kontribusi besar dalam mengembangkan uji Analisis Variansi ini adalah Sir Ronald A. Fisher (1890 – 1962)
B. KLASIFIKASI
Pada Contoh 1 diatas dapat Anda identifikasi bahwa satu variable bebas, yaitu model pembelajaran, dan satu variable terikat, yaitu prestasi belajar siswa.
Berdasarkan banyak variable terikat-nya, Analisis Variansi diklasifikasikan menjadi dua kelompok, yaitu
1. Analisis Variansi Univariate
Analisis ini digunakan jika suatu eksperimen mempunyai satu variable terikat
2. Analisis Variansi Mutivatiate
Analisis ini digunakan jika suatu eksperimen mempunyai lebih dari satu variable terikat
Berdasarkan banyaknya variable bebas-nya, Analisis Variansi Univariate dibagi menjadi tiga kelompok yaitu
1. Analisis Variansi Univariate Satu Jalan
Analisis ini digunakan jika suatu eksperimen mempunyai satu variable terikat dan satu variabel bebas
2. Analisis Variansi Univariate Dua Jalan
Analisis ini digunakan jika suatu eksperimen mempunyai satu variable terikat dan dua variabel bebas
3. Analisis Variansi Univariate Tiga Jalan
Analisis ini digunakan jika suatu eksperimen mempunyai satu variable terikat dan tiga variabel bebas.
Berdasarkan banyaknya variable bebas-nya, Analisis Variansi Multivariate juga dibagi menjadi 3 bagian yaitu
1. Analisis Variansi Multivariate Satu Jalan
Analisis ini digunakan jika suatu eksperimen mempunyai lebih dari satu variable terikat dan satu variabel bebas
2. Analisis Variansi Multivariate Dua Jalan
Analisis ini digunakan jika suatu eksperimen mempunyai lebih dari satu variable terikat dan dua variabel bebas
3. Analisis Variansi Multivariate Tiga Jalan
Analisis ini digunakan jika suatu eksperimen mempunyai lebih dari satu variable terikat dan tiga variabel bebas
Pada bab ini, kita akan mempelajari terutama untuk Analisis Variansi Univariate
C. PERSYARATAN ANALISIS VARIANSI
Tidak semua jenis penelitian dapat dianalisia dengan Analisis Variansi, tetapi penelitian yang hanya memenuhi persyaratan Analisis Variansi.
Adapun persyaratan untuk Analisis Variansi adalah
1. Setiap sample diambil secara random dari populasinya
Dalam statistika, untuk hal pengambilan sample harus dilakukan secara random (acak) dari populasinya. Hal ini dimaksudkan agar diperoleh sample yang dapat mewakili populasinya (representative)
Tambahkan dengan teknik sampling di buku metodologi penelitian
2. Masing-masing populasi saling independen dan masing-masing data amatan saling independen di dalam kelompoknya
§ Dipenuhinya persyaratan ini dimaksudkan agar perlakuan yang diberikan kepada masing-masing sample independen antara satu dengan yang lainnya. Dengan kata lain antara sample satu dengan sample yang lain berdiri sendiri dan tidak ada keterkaitan/hubungan.
Misalkan dilakukan§ eksperimen tindakan kelas yang ditinjau dari prestasi belajar siswa. Saat dilakukan pengujian, peneliti harus menjamin bahwa antara sample yang satu dengan yang lainnya independen/tidak ada hubungan/tidak ada kerjasama sehingga data yang diperoleh merupakan data yang valid, artinya alat tes yang sudah diberikan kepada salah satu sample diusahakan jangan sampai diberikan kepada sample yang lain.
Untuk§ masing-masing populasi harus saling independen dan masing-masing data amatan harus saling independen di dalam kelompoknya, dalam arti bahwa kesalahan yang terjadi pada suatu data amatan harus independen dengan kesalahan yang terjadi pada data amatan yang lain.
Andaikan solusi§ independen antar tes dapat diselesaikan dengan memilih sample – sample yang mewakili populasi-populasi yang berbeda, maka peneliti juga harus menjamin sifat independen antar data amatan
Untuk menguji independence, dapat digunakan uji kecocokan (goodness – of – fit test).§
Teorema Goodness – of – fit test§
Uji kecocokan antara frekuensi amatan (observed frequencies) dan frekuensi harapan (expected frequencies) mendasarkan kepada kuantitas berikut :
Dimana nilai-nilai dari mendekati nilai-nilai dari variable random chi kuadrat
Lambang oi menyatakan frekuensi amatan dan lambang ei menyatakan frekuensi data yang diharapkan
Teorema Derajat Kebebasan untuk Uji Kecocokan§
Bilangan yang menunjukkan derajat kebebasan pada uji kecocokan chi kuadrat adalah banyaknya sel dikurangi banyaknya kuantitas yang diperoleh dari data amatan yang digunakan untuk menghitung frekuensi harapan.
Pada uji ini, yang dirumuskan ialah bahwa data amatan mempunyai distribusi tertentu yang dihipotesiskan dan sebagai daerah kritiknya adalah
Dengan v = derajat kebebasan
§ Berdasarkan Teorema Goodness-of-Fit Test diatas dapat dilihat bahwa semakin kecil nilai-nilai menunjukkan data yang diamati semakin mendekati distribusi yang diteorikan.
3. Setiap populasi berdistribusi normal (Sifat Normalitas Populasi)
• Persyaratan normalitas populasi harus dipenuhi karena Analisis Variansi pada dasarnya adalah uji beda rataan, sama seperti uji beda rataan 2 populasi, misal uji t dan uji Z
• Sebelum dilakukan uji beda rata-rata, harus ditunjukkan bahwa sampelnya diambil dari populasi normal.
• Apabila masing-masing sample berukuran besar dan diambil dari populasi yang berukuran besar, biasanya masalah normalitas ini tidak menjadi masalah yang pelik, karena populasi yang berukuran besar cenderung berdistribusi normal.
• Terdapat 2 cara yang sering digunakan untuk uji normalitas, yaitu dengan variable random chi kuadrat (dikatakan sebagai uji secara parametrik karena menggunakan penafsir rataan dan deviasi baku) dan dengan metode Lilliefors (uji ini merupakan uji secara non-parametrik).
• Uji Normalitas dengan Chi Kuadrat
Uji kenormalan dapat dilakukan dengan menggunakan Teorema Goodness – of – fit test dan Teorema Derajat Kebebasan untuk Uji Kecocokan diatas. Pada uji ini, untuk menentukan frekuensi harapan, dilakukan tiga cuantiítas, yaitu frekuensi total, rataan, dan deviasi baku sehingga derajat kebebasannya adalah (k-3).
Untuk dapat menggunakan cara ini, datanya harus dinyatakan dalam distribuís frekuensi data bergolong. Prinsip yang dipakai dalam uji ini adalah membandingkan antara histogram data amatan dengan histogram yang kurva poligon frekuensinya mendekati distribusi normal
• Uji Normalitas dengan Metode Lilliefors
Uji normalitas dengan metode ini digunakan apabila datanya tidak dalam distribusi frekuensi bergolong. Pada metode ini, setiap data diubah menjadi bilangan baku dengan transformasi
Statistik uji untuk metode ini adalah L = dengan dan = proporsi cacah terhadap seluruh .
Sebagai daerah kritiknya : dengan n sebagai ukuran populasi
• Jika persyaratan normalitas populasi ini tidak dipenuhi, peneliti harus dapat melakukan transformasi data sedemikian hingga data yang baru memenuhi persyaratan normalitas populasi ini dan Analisis Variansi ini dapat diberlakukan pada data yang baru hasil transformasi
4. Populasi-populasi mempunyai variansi yang sama (Sifat Homogenitas Variansi Populasi)
Ø Persyaratan ini harus dipenuhi karena didalam Analisis Variansi ini dihitung variansi gabungan (pooled varince) dari variansi-variansi kelompok
Hal ini berkaitan dengan digunakannya uji F pada AnalisisØ Variansi, yang apabila variansi populasi tidak sama maka uji F tidak dapat digunakan
Salah satu uji homogenitas variansi untuk k-populasi adalah Uji Bartlett. Uji ini mempunyai 2 bentuk.Ø
Uji Bartlett bentuk pertamaØ
Langkah komputasinya adalah
1. Hitunglah masing-masing variansi dari k-populasi yaitu dari sampel yang berukuran
2. Hitung variansi gabungan yang dirumuskan oleh
3. Hitung bilangan b yang dirumuskan dengan yang merupakan nilai dari variabel random B yang mempunyai distribusi Bartlett
4. Tentukan daerah kritiknya : dengan
Uji Bartlett bentuk keduaØ
Statistik Uji :
dengan
= banyaknya populasi = banyaknya sampel
= banyaknya seluruh nilai (ukuran)
= banyaknya nilai (ukuran) smapel ke-j = ukuran sampel ke-j
= = derajat kebebasan untuk
= = derajat kebebasan untuk RKG
RKG = rataan kuadrat galat =
= =
CATATAN
Dalam Analisis Variansi, masing-masing kelompok yang digunakan sebagai sample dari populasinya masing-masing sehingga jika terdapat k-sampel yang diambil dari k-populasi dan setiap sample mendapat perlakuan (treatment) sendiri-sendiri maka dapat dikatakan k-sampel identik dengan k-populasi
Atau dengan kata lain,
Populasi-populasi pada Analisis Variansi merupakan sub-sub populasi dari populasi penelitian
D. PENYIMPANGAN PESYARATAN ANALISIS VARIANSI
Sejumlah penelitian telah dilakukan untuk mengetahui efek penyimpangan dari asumsi dalam Analisis Variansi. Penelitian ini menunjukkan bahwa terdapat sedikit efek/akibat bila asumsi yang mendasari Analisis Variansi tidak secara pasti memuaskan sehingga sedikit penyimpanagan dari asumsi akan mendapat sedikit perhatian pula
E. ANALISIS VARIANSI UNIVARIATE SATU JALAN
Analisis ini digunakan jika data eksperimen mempunyai ciri-ciri sebagai berikut :
1. Memenuhi 4 persyaratan Analisis Variansi
2. Mempunyai satu variable terikat
3. Mempunyai satu variable bebas
Contoh 2
Seorang peneliti pendidikan ingin meneliti pengaruh waktu pengajaran ditinjau dari prestasi belajar siswa. Peneliti tersebut memilih masing-masing satu kelas untuk tiga sekolah yang telah ditentukan sebelumnya dan telah diyakinkan bahwa ketiga sekolah dan ketiga kelas tersebut mempunyai kemampuan/prestasi yang relatif sama. Dari ketiga kelas tersebut, satu kelas diajarkan matematika tiap pagi hari, satu kelas lagi diajarkan matematika tiap siang hari, dan satu kelas terakhir diajarkan matematika tiap sore hari selama waktu eksperimen.
Dari Contoh 2 dapat diidentifikasi variable bebas dan variable terikatnya yaitu
Variabel terikat :
Variabel bebas :
Jika diasumsikan bahwa keempat persyaratan dari Analisis Variansi diatas telah terpenuhi dan telah diidentifikasi variable-variabelnya, maka pada Contoh 2 diatas dapat digunakan uji
Analisis Variansi …
Contoh 3
Seperti Contoh 2 diatas, misalkan disamping diuji pengaruh waktu mengajar terhadap prestasi belajar siswa, secara serentak juga akan dilihat pengaruh ukuran kelas (besar dan kecil) terhadap prestasi belajar siswa, maka akan terdapat variable tambahan sehingga dapat diidentifikasikan variable terikat dan variable bebasnya yaitu
Variabel terikat :
Variabel bebas :
Jika diasumsikan bahwa keempat persyaratan dari Analisis Variansi diatas telah terpenuhi dan telah diidentifikasi variable-variabelnya, maka pada Contoh 3 dapat digunakan uji
Analisis Variansi …
Berdasarkan ukuran data amatan, Analisis Variansi Univariate Satu Jalan dapat digolongkan menjadi 2 yaitu
1. Analisis Variansi Univariate Satu Jalan dengan Sel Sama
2. Analisis Variansi Univariate Satu Jalan dengan Sel Berbeda
ANALISIS VARIANSI UNIVARIATE SATU JALAN DENGAN SEL SAMAv
- Syarat
Uji ini digunakan jika data amatan hasil eksperimen memenuhi persyaratan sebagai berikut
i. Memenuhi 4 persyaratan Analisis Variansi
ii. Mempunyai satu variabel terikat
iii. Mempunyai satu variable bebas
iv. Ukuran masing-masing sample adalah sama
- Misalkan ukuran sample yang sama adalah n
- Tata letak data
Misalkan terdapat k-sampel dengan masing-masing sample berukuran n maka banyaknya seluruh data amatan adalah nk
Notasi dan tata letak data pada k-sampel berukuran n dapat digambarkan pada tabel berikut
Perlakuan
1 2 … k
…
…
…
…
Jumlah
…
T = G
Rataan
…
- Keterangan
= data amatan ke-i pada perlakuan ke-j (sample ke-j)
= Jumlah data amatan sample ke-j
= Rataan sample ke-j
G = T = Jumlah seluruh data amatan
= rataan dari seluruh data amatan
- Model Data
Pada Analisis Variansi Univariate Satu Jalan dengan Sel Sama, setiap data/nilai pada populasi dapat dimodelkan dalam bentuk
Misalkan rataan dari seluruh data pada k-populasi adalah , maka dapat dinyatakan sebagai
dengan
dimana
= rataan pada populasi ke-j
= deviasi dari rataan populasinya
= efek perlakuan ke-j terhadap variable terikat
- Dengan demikian, model dari nilai pada populasi adalah
dengan
= data amatan ke-i pada perlakuan ke-j
= rerata dari seluruh data pada populasi
= efek perlakuan ke-j terhadap variable terikat
= deviasi dari rataan populasinya yang berdistribusi normal dengan rataan nol
Deviasi terhadap rataan populasi sering disebut dengan galat (error)
= 1, 2, … , n
j = 1, 2, … ,k
k = cacah populasi/cacah perlakuan/cacah klasifikasi
n = banyaknya data amatan
- Perhatikan dan selesaikanlah contoh-contoh berikut
Contoh 4
Tabel berikut adalah data populasi pada eksperimen dengan 3 perlakuan, yaitu perlakuan P1, P2, dan P3
Misalkan variable terikatnya adalah prestasi belajar yang berupa nilai
Perlakuan P1 P2 P3
Nilai 3, 4, 4, 5 5, 5, 3, 3 2, 4, 4, 6
Carilah nilai dan !
Nyatakan setiap nilai dengan model !
Solusi :
Langkah pertama, carilah dahulu nilai dan . Setelah diperoleh kedua nilai tersebut dapat dicari nilai
Setiap data pada populasi tersebut dapat dinyatakan dengan bentuk sebagai berikut
Dari contoh diatas dapat dilihat bahwa
dan
Keadaan seperti ini dapat dikatakan bahwa …
Contoh 5
Tabel berikut adalah data populasi pada eksperimen dengan 3 perlakuan, yaitu perlakuan K1, K2, dan K3
Misalkan variable terikatnya adalah prestasi belajar yang berupa nilai
Perlakuan K1 K2 K3
Nilai 2, 3, 3, 4 5, 5, 3, 3 3, 5, 5, 7
Carilah nilai dan !
Nyatakan setiap nilai dengan model !
Solusi :
Contoh 6
Tabel berikut adalah data populasi pada eksperimen dengan 3 perlakuan, yaitu perlakuan T1, T2, dan T3
Misalkan variable terikatnya adalah prestasi belajar yang berupa nilai
Perlakuan T1 T2 T3
Nilai 3, 4, 4, 6 3, 4, 4, 5 5, 6, 7, 8
Carilah nilai dan !
Nyatakan setiap nilai dengan model !
Solusi :
Dari Contoh 4 sampai Contoh 6 dapat disimpulkan bahwa
1. Jika dan maka dapat dikatakan ….
2. Jika ketiga tidak bernilai sama dan nilai ketiga juga berbeda maka dapat diartikan ….
- Perumusan Hipotesa
Misalkan terdapat k-perlakuan. Pasangan hipotesa yang diuji pada analisis variansi satu jalan ini adalah
H0 :
H1 : paling sedikit ada dua rataan yang tidak sama
Perhatikan bahwa sebab notasi itu menunjukkan bahwa dan dan dan seterusnya padahal tidak selalu demikian
Berdasarkan model data pada Analisis Variansi Univariate Satu Jalan, maka pasangan hipotesisnya dapat dirumuskan sebagai berikut
H0 :
(dapat juga ditulis untuk setiap j)
H1 : paling sedikit ada satu yang tidak nol
Atau dapat ditulis dengan
H0 : tidak ada pengaruh variable bebas terhadap variable terikat
H1 : ada pengaruh variable bebas terhadap variable terikat
Atau dapat ditulis dengan
H0 : variabel bebas tidak berpengaruh terhadap variable terikat
H1 : variabel bebas berpengaruh terhadap variable terikat
Jika kata “pengaruh” digunakan, maka harus dimengerti bahwa ada atau tidaknya pengaruh ditandai oleh ada atau tidaknya perbedaan rataan pada k-populasi
Hal ini dilambangkan dengan nilai
- Prosedur Uji Analisis Variansi
Analisis Variansi pada prinsipnya mendasarkan kepada perbandingan dua estimator independen untuk variansi seluruh populasi, yaitu
Estimator-estimator ini diperoleh dari pemisahan variansi data amatan pada seluruh sample menjadi 2 komponen yaitu
1. Estimator untuk variansi antar kelompok (variances between the sample means)
2. Estimator variansi dalam kelompok (variances within k-samples)
Tentu saja estimator-estimator ini diperoleh dari variansi-variansi sample
Variansi dari seluruh data amatan pada k-sampel dan dengan ukuran data nk adalah
=
Pembilang dari ruas kanan pada formula variansi diatas disebut dengan Jumlah Kuadrat Total (Total sum of Squares) yang disingkat dengan JKT atau SST sehingga diperoleh
JKT = SST =
Dan penyebutnya merupakan Derajat Kebebasan untuk JKT
Dengan menggunakan sifat sigma diperoleh
JKT = =
Untuk selanjutnya, suku pertama ruas kanan disebut Jumlah Kuadrat Rataan Perlakuan (Treatment Sum of Squares atau Sum of Squares for Column Means), disajikan dengan JKA atau SSC dan suku keduanya disebut Jumlah Kuadrat Galat (Error Sum of Squares) yang dinotasikan dengan JKG atau SSE
Sehingga diperoleh
JKA = SSC = dan JKG = SSE =
Estimator untuk variansi antar kelompok , dengan derajat kebebasan , ditentukan oleh
Jika benar maka merupakan estimator tak bias , sebaliknya jika benar, maka JKA akan mempunyai nilai yang cenderung besar dan jauh melebihi
Estimator untuk variansi dalam kelompok dengan derajat kebebasan , ditentukan oleh
Estimator ini merupakan estimator tak bias terlepas apakah yang benar ataukah jika benar, maka rasio dan adalah
adalah nilai dari variabel random Fisher yang mempunyai distribusi F dengan derajat kebebasan (k-1) dan (nk-k)
Untuk selanjutnya disebut rataan kuadrat perlakuan (treatment mean squares) yang dinotasikan dengan RKA atau MSC dan disebut rataan kuadrat galat (error means squares) yang dinotasikan dengan RKG atau MSE.
Oleh karena itu, statistik ujinya adalah
RKA ini merupakan estimator untuk variansi antar kelompok
RKG merupakan estimator variansi gabungan (pooled variance) dari variansi – variansi populasi.
- Daerah Kritik
Karena adalah over estimates jika salah, maka daerah kritik untuk uji ini adalah
- Formula Praktis
Pada praktiknya, nilai rataan sample tidak merupakan bilangan bulat sehingga formula JKA, JKG, dan JKT seperti yang ditulis dimuka tidak mudah digunakan.
Namun demikian, sifat-sifat berikut ini dipenuhi, sehingga untuk menghitung JKT, JKA, dan JKG lebih baik digunakan formula
JKG = JKT - JKA
- Contoh 7
Untuk melihat apakah obat sakit kepala jenis A, jenis B, jenis C, jenis D, dan jenis E memberikan efek yang sama untuk menghilangkan rasa sakit kepala, obat-obat tersebut diberikan kepada kelompok yang berbeda yang masing-masing kelompok beranggotakan 5 orang yang sedang sakit kepala yang sama. Kelompok I diberi obat A, Kelompok II diberi obat B, Kelompok III diberi obat C, Kelompok IV diberi obat D, dan Kelompok V diberi obat E. Data berikut menyatakan lama waktu penyembuhan yang dicatat untuk masing-masing kelompok. Jika = 5%, apakah dapat disimpulkan bahwa kelima jenis obat sakit kepala tersebut memberikan efek yang sama? Diasumsikan semua persyaratan uji analisis variansi dipenuhi
Lama Waktu Hilangnya Rasa Sakit pada Lima Jenis Obat
Jenis Obat Sakit Kepala
A B C D E
5 9 3 2 7
4 7 5 3 6
8 8 2 4 9
6 6 3 1 4
3 9 7 4 7
Solusi :
Langkah pertama akan dicari nilai total dan rataan dari masing-masing sel dan diperoleh
Jenis Obat Sakit Kepala
A B C D E
5 9 3 2 7
4 7 5 3 6
8 8 2 4 9
6 6 3 1 4
3 9 7 4 7
Total = 26
= 39
= 20
= 14
= 33
G = T = 132
Rataan = 5,2
= 7,8
= 4,0
= 2,8
= 6,6
= 5,28
Uji Hipotesa :
1. Perumusan Hipotesa
H0 :
H1 : paling sedikit ada dua rataan yang tidak sama
2. Taraf Signifikansi = 5%
3. Statistik Uji yang digunakan
4. Komputasi
JKT = = 834 – 696,960 = 137,040
JKA = = 79,440
JKG = 57,6
RKA = = 19,860
RKG = = 2,88
Rangkuman Analisis Variansi dari Contoh 7
Sumber Variasi Jumlah Kuadrat Derajat Kebebasan Rataan Kuadrat Nilai F amatan
Perlakuan 79,440 4 19,860 6,90
Galat 57,600 20 2,880
Total 137,040 24
5. Daerah Kritik
= 2,87
DK = {F|F>2,87}
DK
6. Keputusan Uji : H0 ditolak
7. Kesimpulan : Kelima obat sakit kepala tersebut tidak memberikan efek yang sama dalam menghilangkan rasa sakiANALISIS VARIANSI UNIVARIATE SATU JALAN DENGAN SEL YANG BERBEDAv
• Jika Analisis Variansi Univariate Satu Jalan dengan sel yang sama, ukuran masing-masing sample sama, yaitu n, maka pada analisis variansi dengan sel tak sama, ukuran masing-masing sel tidak harus sama. Jadi, pada sample ke-1, ukuran sampelnya ialah n1; pada sample ke-2, ukuran sampelnya alah n2,…., pada sample ke-k, ukuran sampelnya ialah nk
• Tujuan
Seperti pada avana satu jalan dengan sel sama, tujuan dipakainya anava satu jalan dengan sel tak sama adalah untuk melihat efek variable bebas terhadap variable terikat dengan membandingkan rataan beberapa populasi
• Syarat
Uji ini digunakan jika data amatan hasil eksperimen memenuhi persyaratan sebagai berikut
i. Memenuhi 4 persyaratan Analisis Variansi
ii. Mempunyai satu variabel terikat
iii. Mempunyai satu variable bebas
iv. Ukuran masing-masing sample adalah berbeda
• Tata letak data
Misalnya terdapat k populasi yang akan dibandingkan rataanya, yang dengan kata lain, misalnya terdapat k kategori perlakuan. Perlakuan-perlakuan itu disajikan dengan A1, A2, … , Ak. Notasi data dari ANAVA jenis ini dapat digambarkan dalam table berikut
Tabel Tata Letak Pada Anava Satu Jalan Sel Tak Sama
A1 A2 … Ak
Data Amatan X11
X21
…
Xn11 X12
X22
…
Xn22 …
…
…
… X1k
X2k
...
Xnkk
• Model
Model untuk data populasi pada analisis variansi satu jalan dengan sel tak sama ialah:
Xij = µ + αj + εij
dengan:
Xij = data ke-i pada perlakuan ke-j;
µ = rerata dari seluruh data (rerata besar, grand mean);
αj = µj - µ = efek perlakuan ke-j pada variable terikat;
εij = deviasi data Xij terhadap rataan populasinya yang berdistribusi normal dengan rataan 0.
i = 1, 2, 3, … , nj; ; j = 1, 2, 3, …, k
k = cacah populasi (cacah perlakuan, cacah klasifikasi)
• Notasi dan Tata Letak
Karena setiap perlakuan tersebut terdiri dari data amatan yang banyaknya berbeda maka harus dicari jumlah, rataan, jumlah kuadrat, suku korelasi, dan variasi untuk masing-masing kategori perlakuan maupun keseluruhan (total) sehingga data amatan dan perhitungan yang dicari diatas dapat disajikan pada tabel berikut
Tabel Notasi dan Tata Letak Pada Anava Satu Jalan Sel Tak Sama
A1 A2 … Ak Total
Data Amatan X11
X21
….
Xn11 X12
X22
….
Xn22 …
…
…
… X1k
X2k
....
Xnkk
Cacah data n1 n2 … nk N
Jumlah data T1 T2 … Tk G
Rataan
…
Jumlah Kuadrat
…
Suku Korelasi
…
Variasi SS1 SS2 …
Tidak ada komentar:
Posting Komentar